第 209 章 均值换元法之妙
一日，学堂之内，戴浩文正欲讲授新的知识。
戴浩文轻拂衣袖，缓声道：“今日为师要与尔等传授一种奇妙之法，名曰均值换元法。”
众学子皆正襟危坐，目光炯炯。
李华拱手问道：“先生，此均值换元法究竟何意？”
戴浩文微笑着回道：“莫急，且听为师慢慢道来。假设有一方程，形如 x + y = 10，且知 x - y = 2，若要求此 x 与 y 之值，当如何解之？”
张明皱眉思索片刻，道：“先生，吾等可否先消元求解？”
戴浩文微微摇头，道：“此法可行，然今之所学乃均值换元。吾等可设 x = a + b，y = a - b，其中 a 为 x 与 y 之均值，b 为二者之差之半。”
王强疑惑道：“先生，为何如此设之？”
戴浩文耐心解释道：“如此设之，可使方程简化，易于求解。今设罢，将其代入上述方程，可得何？”
赵婷轻声道：“则有 (a + b) + (a - b) = 10，2a = 10，a = 5。”
戴浩文点头称许：“赵婷聪慧。那再看 x - y 之方程，又当如何？”
李华忙道：“则为 (a + b) - (a - b) = 2，2b = 2，b = 1。”
戴浩文抚掌笑道：“善！既得 a = 5，b = 1，那 x 与 y 之值为何？”
张明恍然道：“则 x = a + b = 6，y = a - b = 4。”
戴浩文又道：“此乃简单之例，若方程更为复杂，如 x2 + y2 = 25，x + y = 7，又当如何？”
王强挠头道：“先生，此事更为难解。”
戴浩文笑曰：“依旧可用均值换元，设 x = u + v，y = u - v。则 x2 + y2 = (u + v)2 + (u - v)2 = 2(u2 + v2) = 25，u2 + v2 = 25\/2。又 x + y = 2u = 7，u = 7\/2。”
赵婷接着道：“那 v2 = 25\/2 - 49\/4 = 1\/4，v = ±1\/2。”
戴浩文颔首：“极是。如此可得 x 与 y 之值。”
李华叹道：“先生，此均值换元法甚是巧妙，然需多加练习方能熟练运用。”
戴浩文正色道：“诚然。数学之法，皆需勤加研习，方能融会贯通。今再看此例，若 x3 + y3 = 35，x + y = 5，汝等试解之。”
众学子纷纷低头思索，奋笔计算。
戴浩文在堂中踱步，不时指点一二。
......
如此，在师生的一问一答、一思一解之中，学子们对于均值换元法的理解愈发深刻，学问亦日益精进。一日授课结束，学子们散去，唯张明留于堂中。
张明近前，拱手道：“先生，弟子于均值换元法仍有几处不明，望先生解惑。”
戴浩文和颜悦色道：“但说无妨。”
张明道：“若所给方程并非两式，仅一式，如 x2 + 2xy + y2 = 9，当如何用均值换元？”
戴浩文思索片刻，道：“此式可化为 (x + y)2 = 9，仍可设 x + y = u，解之可得 u 值，进而求得 x 与 y。”
张明又问：“那若式中含分数，又当如何？”
戴浩文轻道：“莫慌，若如 (x + 1\/2y)2 = 4，可设 x + 1\/2y = v ，照此前之法求解。”
张明似有所悟，点头道：“多谢先生，然弟子在计算时，常易出错，不知先生有何妙法？”
戴浩文笑曰：“计算之要，在于心细。每步皆需谨慎，运算完毕，当复查之。”
张明再道：“先生，此均值换元法于生活中可有实用之处？”
戴浩文缓缓道：“生活诸多情境，皆含数理。若分物、量地，或算财货收支，皆可能用之。”
张明眼睛一亮，道：“原来如此，先生教诲，弟子铭记。”
数日后，课堂之上。
戴浩文问道：“前几日所讲均值换元法，尔等可还记得？”
众学子齐声应道：“记得。”
戴浩文道：“那吾出一题，以验汝等所学。已知 x + 3y = 12，x2 + 3y2 = 30，求 x 与 y 之值。”
学子们纷纷提笔计算，少顷，李华起身道：“先生，弟子算得 x = 3，y = 3。”
戴浩文微微点头，道：“李华算得不错，还有其他解法否？”
王强起身道：“先生，弟子设 x = 6 + m，y = 2 - m ，解得相同之结果。”
戴浩文赞道：“王强亦佳。”
赵婷道：“先生，若式中含参数，又当如何？”
戴浩文道：“含参数亦无妨，依均值换元之理，细心求解即可。”
如此，学子们在戴浩文的教导下，对均值换元法的掌握日益娴熟。
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